Производная sqrt(tan(x)^(2)+2)

Решение

Вы ввели [src]

   _____________
  /    2        
\/  tan (x) + 2

$$\sqrt{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2}$$

  /   _____________\
d |  /    2        |
--\\/  tan (x) + 2 /
dx

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \tan^{2}{\left(x \right)} + 2$ .
В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right)$ :
1. дифференцируем $\tan^{2}{\left(x \right)} + 2$ почленно:
  1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
  2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. Производная синуса есть косинус:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. Производная косинус есть минус синус:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  4. Производная постоянной $2$ равна нулю.
  В результате: $\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\sqrt{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sqrt{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sqrt{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

/         2   \       
\2 + 2*tan (x)/*tan(x)
----------------------
       _____________  
      /    2          
  2*\/  tan (x) + 2

$$\frac{\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

              /                   2    /       2   \\
/       2   \ |         2      tan (x)*\1 + tan (x)/|
\1 + tan (x)/*|1 + 3*tan (x) - ---------------------|
              |                            2        |
              \                     2 + tan (x)     /
-----------------------------------------------------
                      _____________                  
                     /        2                      
                   \/  2 + tan (x)

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2} + 3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\sqrt{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2}}$$

Упростить

Третья производная [src]

              /                                2                                            2        \       
              |                   /       2   \         2    /       2   \     /       2   \     2   |       
/       2   \ |          2      3*\1 + tan (x)/    6*tan (x)*\1 + tan (x)/   3*\1 + tan (x)/ *tan (x)|       
\1 + tan (x)/*|8 + 12*tan (x) - ---------------- - ----------------------- + ------------------------|*tan(x)
              |                          2                      2                              2     |       
              |                   2 + tan (x)            2 + tan (x)              /       2   \      |       
              \                                                                   \2 + tan (x)/      /       
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                  _____________                                              
                                                 /        2                                                  
                                               \/  2 + tan (x)

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan^{2}{\left(x \right)}}{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right)^{2}} - \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2} + 12 \tan^{2}{\left(x \right)} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2} + 8\right) \tan{\left(x \right)}}{\sqrt{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sqrt(tan(x)^(2)+2)

График:

Кусочно-заданная:

Решение