Производная sqrt(1+tan(x))

Решение

Вы ввели [src]

  ____________
\/ 1 + tan(x)

$$\sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}$$

d /  ____________\
--\\/ 1 + tan(x) /
dx

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \tan{\left(x \right)} + 1$ .
В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\tan{\left(x \right)} + 1\right)$ :
1. дифференцируем $\tan{\left(x \right)} + 1$ почленно:
  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  2. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  3. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1} \cos^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{1}{2 \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{1}{2 \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

        2     
 1   tan (x)  
 - + -------  
 2      2     
--------------
  ____________
\/ 1 + tan(x)

$$\frac{\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

              /          2              \
/       2   \ |   1 + tan (x)           |
\1 + tan (x)/*|- -------------- + tan(x)|
              \  4*(1 + tan(x))         /
-----------------------------------------
                ____________             
              \/ 1 + tan(x)

$$\frac{\left(\tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{4 \left(\tan{\left(x \right)} + 1\right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}}$$

Упростить

Третья производная [src]

              /                               2                         \
              |                  /       2   \      /       2   \       |
/       2   \ |         2      3*\1 + tan (x)/    3*\1 + tan (x)/*tan(x)|
\1 + tan (x)/*|1 + 3*tan (x) + ---------------- - ----------------------|
              |                              2        2*(1 + tan(x))    |
              \                8*(1 + tan(x))                           /
-------------------------------------------------------------------------
                                ____________                             
                              \/ 1 + tan(x)

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{2 \left(\tan{\left(x \right)} + 1\right)} + 1 + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{8 \left(\tan{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}\right)}{\sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sqrt(1+tan(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение