Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная sin(3*x)+7
Производная 1/x+1/x^2+1/x^3
Производная sqrt(x^2-8)
Производная 3*x-17
Идентичные выражения
cos(x)*sqrt(один +sin(x)^ два)
косинус от (x) умножить на квадратный корень из (1 плюс синус от (x) в квадрате )
косинус от (x) умножить на квадратный корень из (один плюс синус от (x) в степени два)
cos(x)*√(1+sin(x)^2)
cos(x)*sqrt(1+sin(x)2)
cosx*sqrt1+sinx2
cos(x)*sqrt(1+sin(x)²)
cos(x)*sqrt(1+sin(x) в степени 2)
cos(x)sqrt(1+sin(x)^2)
cos(x)sqrt(1+sin(x)2)
cosxsqrt1+sinx2
cosxsqrt1+sinx^2
Похожие выражения
cos(x*sqrt(1+sin(x)^(2)))
cos(x)*sqrt(1+(sin(x))^2)
cos(x)*sqrt(1-sin(x)^2)
cosx*sqrt(1+sinx^2)

Производная функции/ cos(x)*sqrt(1+sin(x)^2)

Производная cos(x)*sqrt(1+sin(x)^2)

Решение

Вы ввели [src]

          _____________
         /        2    
cos(x)*\/  1 + sin (x)

$$\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \cos{\left(x \right)}$$

  /          _____________\
d |         /        2    |
--\cos(x)*\/  1 + sin (x) /
dx

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \cos{\left(x \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
$g{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \sin^{2}{\left(x \right)} + 1$ .
2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$ :
  1. дифференцируем $\sin^{2}{\left(x \right)} + 1$ почленно:
    1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
    2. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    3. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$
    4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
      1. Производная синуса есть косинус:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      В результате последовательности правил:
      
      $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
    В результате: $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}$
В результате: $- \sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}$
Теперь упростим:

$- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}$

Ответ:

$- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

     _____________              2           
    /        2               cos (x)*sin(x) 
- \/  1 + sin (x) *sin(x) + ----------------
                               _____________
                              /        2    
                            \/  1 + sin (x)

$$- \sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

 /                                          2       2                      \       
 |                      2         2      cos (x)*sin (x)                   |       
 |                   sin (x) - cos (x) + ---------------                   |       
 |   _____________                                2                2       |       
 |  /        2                             1 + sin (x)        2*sin (x)    |       
-|\/  1 + sin (x)  + ----------------------------------- + ----------------|*cos(x)
 |                                _____________               _____________|       
 |                               /        2                  /        2    |       
 \                             \/  1 + sin (x)             \/  1 + sin (x) /

$$- \left(\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}} + \frac{\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} + \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}\right) \cos{\left(x \right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

/                                                                                        /          2             2            2       2   \\       
|                                        /                       2       2   \      2    |     3*sin (x)     3*cos (x)    3*cos (x)*sin (x)||       
|                                        |   2         2      cos (x)*sin (x)|   cos (x)*|4 - ----------- + ----------- - -----------------||       
|                                      3*|sin (x) - cos (x) + ---------------|           |           2             2                     2 ||       
|   _____________           2            |                             2     |           |    1 + sin (x)   1 + sin (x)     /       2   \  ||       
|  /        2          3*cos (x)         \                      1 + sin (x)  /           \                                  \1 + sin (x)/  /|       
|\/  1 + sin (x)  - ---------------- + --------------------------------------- - -----------------------------------------------------------|*sin(x)
|                      _____________                  _____________                                       _____________                     |       
|                     /        2                     /        2                                          /        2                         |       
\                   \/  1 + sin (x)                \/  1 + sin (x)                                     \/  1 + sin (x)                      /

$$\left(- \frac{\left(- \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} - \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} + 4\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}} + \sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}} + \frac{3 \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} + \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}\right) \sin{\left(x \right)}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная cos(x)*sqrt(1+sin(x)^2)

График:

Кусочно-заданная:

Решение