Производная e^t*(cos(t)-sin(t))

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} g{\left(t \right)} = f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$

   $f{\left(t \right)} = e^{t}$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

   1. Производная $e^{t}$ само оно.

   $g{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

   1. дифференцируем $- \sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}$ почленно:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$

         Таким образом, в результате: $- \cos{\left(t \right)}$

      В результате: $- \sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}$

   В результате: $\left(- \sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{t} + \left(- \sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}\right) e^{t}$

2. Теперь упростим:

   $- 2 e^{t} \sin{\left(t \right)}$

Ответ:

$- 2 e^{t} \sin{\left(t \right)}$