Господин Экзамен
Разложить многочлен на множители a^2-a+1
Решение
Разложение на множители
[src]
/ ___\ / ___\ | 1 I*\/ 3 | | 1 I*\/ 3 | 1*|a + - - + -------|*|a + - - - -------| \ 2 2 / \ 2 2 /
$$\left(a - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) 1 \left(a - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)$$
(1*(a - (1/2 + i*sqrt(3)/2)))*(a - (1/2 - i*sqrt(3)/2))
Выделение полного квадрата
Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
$$a^{2} - a + 1$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a^{2} a_{0} + a b_{0} + c_{0} = a_{0} \left(a + m_{0}\right)^{2} + n_{0}$$
где
$$m_{0} = \frac{b_{0}}{2 a_{0}}$$
$$n_{0} = \frac{4 a_{0} c_{0} - b_{0}^{2}}{4 a_{0}}$$
В нашем случае
$$a_{0} = 1$$
$$b_{0} = -1$$
$$c_{0} = 1$$
Тогда
$$m_{0} = - \frac{1}{2}$$
$$n_{0} = \frac{3}{4}$$
Итак,
$$\left(a - \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}$$
$$a^{2} - a + 1$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a^{2} a_{0} + a b_{0} + c_{0} = a_{0} \left(a + m_{0}\right)^{2} + n_{0}$$
где
$$m_{0} = \frac{b_{0}}{2 a_{0}}$$
$$n_{0} = \frac{4 a_{0} c_{0} - b_{0}^{2}}{4 a_{0}}$$
В нашем случае
$$a_{0} = 1$$
$$b_{0} = -1$$
$$c_{0} = 1$$
Тогда
$$m_{0} = - \frac{1}{2}$$
$$n_{0} = \frac{3}{4}$$
Итак,
$$\left(a - \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}$$