Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел (-log(x))^x
-
Предел 1/(-1+x^2)
-
Предел x^((3/2)^x)
-
Предел (x*(1/2+x))^x
-
Идентичные выражения
- x/(- один +x)^ два
- x делить на ( минус 1 плюс x) в квадрате
- x делить на ( минус один плюс x) в степени два
- x/(-1+x)2
- x/-1+x2
- x/(-1+x)²
- x/(-1+x) в степени 2
- x/-1+x^2
- x разделить на (-1+x)^2
-
Похожие выражения
- (2-x)/(-1+x)^2
- x/(-1-x)^2
- sqrt(2-x)*(-1+x)/(-1+x^2)
- x/(1+x)^2
- (1+x)/(-1+x^2)
- (-5+2*x^2+3*x)/(-1+x^2)
Предел функции x/(-1+x)^2
Решение
Вы ввели
[src]
/ x \
lim |---------|
x->oo| 2|
\(-1 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
Limit(x/((-1 + x)^2), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{u^{2} - 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0}{0^{2} - 0 + 1} = 0$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{u^{2} - 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0}{0^{2} - 0 + 1} = 0$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(x - 1\right)^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x - 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x - 2}$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(x - 1\right)^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x - 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x - 2}$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
График