Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел 1+x^2
-
Предел (x+sin(2*x))/x
- Предел (4-x)/(-16+x^2)
- Предел (3-2*x)/(1+x)
-
Идентичные выражения
- (один + один /x)^(два *x)
- (1 плюс 1 делить на x) в степени (2 умножить на x)
- (один плюс один делить на x) в степени (два умножить на x)
- (1+1/x)(2*x)
- 1+1/x2*x
- (1+1/x)^(2x)
- (1+1/x)(2x)
- 1+1/x2x
- 1+1/x^2x
- (1+1 разделить на x)^(2*x)
-
Похожие выражения
- (1-1/x)^(2*x)
-
Что Вы имели ввиду?
- ((1 + 1)/x)^(2*x)
- (1 + 1/x)^(2*x)
- (1 + 1/x)^(2*x)
Вы ввели:
(1+1/x)^(2*x)
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1+1/x)^(2*x)
Решение
Вы ввели
[src]
2*x
/ 1\
lim |1 + 1*-|
x->oo\ x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x}$$
Limit((1 + 1/x)^(2*x), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{1}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{1}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x} = e^{2}$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x} = 4$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x} = 4$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x} = e^{2}$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x} = 4$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x} = 4$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2 x} = e^{2}$$
Подробнее при x→-oo
График