Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел log(1+x^2)
- Предел cos(x^2)
- Предел atan(x^3)
- Предел sin(x^3)/x^2
- График функции y =:
-
sqrt(x)-x
- Производная:
-
sqrt(x)-x
- Интеграл d{x}:
-
sqrt(x)-x
-
Идентичные выражения
- sqrt(x)-x
- квадратный корень из (x) минус x
- √(x)-x
- sqrtx-x
-
Похожие выражения
- sqrt(x)+x
Предел функции sqrt(x)-x
Решение
Вы ввели
[src]
/ ___ \ lim \\/ x - x/ x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x\right)$$
Limit(sqrt(x) - x, x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x\right)$$
Устраним неопределённость oo - oo
Домножим и разделим на
$$\sqrt{x} + x$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - x\right) \left(\sqrt{x} + x\right)}{\sqrt{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x}{\sqrt{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x}{\sqrt{x} + x}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{u}}}{\sqrt{\frac{1}{u}} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{\sqrt{\frac{1}{0}} - \left(\frac{1}{0}\right)^{\frac{3}{2}}}{1 + \sqrt{\frac{1}{0}}} = -\infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x\right)$$
Устраним неопределённость oo - oo
Домножим и разделим на
$$\sqrt{x} + x$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - x\right) \left(\sqrt{x} + x\right)}{\sqrt{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x}{\sqrt{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x}{\sqrt{x} + x}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{u}}}{\sqrt{\frac{1}{u}} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{\sqrt{\frac{1}{0}} - \left(\frac{1}{0}\right)^{\frac{3}{2}}}{1 + \sqrt{\frac{1}{0}}} = -\infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x\right) = -\infty$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x} - x\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x} - x\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x} - x\right) = 0$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} - x\right) = 0$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} - x\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x} - x\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x} - x\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x} - x\right) = 0$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} - x\right) = 0$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} - x\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo
График