Интеграл x^3*exp(x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = 3 x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6 x$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = 6 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

4. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 6 e^{x}\, dx = 6 \int e^{x}\, dx$

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Таким образом, результат будет: $6 e^{x}$

5. Теперь упростить:

   $\left(x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6\right) e^{x}$

6. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\left(x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$