Интеграл x^2*(1-x^3)^5 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 1 - x^{3}$.

      Тогда пусть $du = - 3 x^{2} dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{5}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u^{5}}{3}\right)\, du = - \frac{\int u^{5}\, du}{3}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{6}}{18}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(1 - x^{3}\right)^{6}}{18}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x^{2} \left(1 - x^{3}\right)^{5} = - x^{17} + 5 x^{14} - 10 x^{11} + 10 x^{8} - 5 x^{5} + x^{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- x^{17}\right)\, dx = - \int x^{17}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{18}}{18}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5 x^{14}\, dx = 5 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{15}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 10 x^{11}\right)\, dx = - 10 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{5 x^{12}}{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10 x^{8}\, dx = 10 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{10 x^{9}}{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 5 x^{5}\right)\, dx = - 5 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{5 x^{6}}{6}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Результат есть: $- \frac{x^{18}}{18} + \frac{x^{15}}{3} - \frac{5 x^{12}}{6} + \frac{10 x^{9}}{9} - \frac{5 x^{6}}{6} + \frac{x^{3}}{3}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\left(x^{3} - 1\right)^{6}}{18}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\left(x^{3} - 1\right)^{6}}{18}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\left(x^{3} - 1\right)^{6}}{18}+ \mathrm{constant}$