Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл x*e^-x
Интеграл (tan(x))^3
Интеграл dx/(3-x^2)
Интеграл 1/(cos(x)^(6))
График функции y =:
(x^2+4)/(x^2-1)
Идентичные выражения
(x^ два + четыре)/(x^ два - один)
(x в квадрате плюс 4) делить на (x в квадрате минус 1)
(x в степени два плюс четыре) делить на (x в степени два минус один)
(x2+4)/(x2-1)
x2+4/x2-1
(x²+4)/(x²-1)
(x в степени 2+4)/(x в степени 2-1)
x^2+4/x^2-1
(x^2+4) разделить на (x^2-1)
(x^2+4)/(x^2-1)dx
Похожие выражения
(x^2+4)/(x^2+1)
(x^2-4)/(x^2-1)

Интеграл (x^2+4)/(x^2-1) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1          
  /          
 |           
 |   2       
 |  x  + 4   
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  - 1   
 |           
/            
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 1} = 1 - \frac{5}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{5}{2 \left(x - 1\right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, dx = x$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{5}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{5 \int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{5 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{5}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{5 \int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{5 \log{\left(x - 1 \right)}}{2}$
  Результат есть: $x + \frac{5 \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{5 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 1} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{4}{x^{2} - 1}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, dx = x$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$
    Результат есть: $x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{4}{x^{2} - 1}\, dx = 4 \int \frac{1}{x^{2} - 1}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}}{2}$
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}}{2}\, dx = \frac{\int \left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right)\, dx}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $\frac{1}{x - 1}$ есть $\log{\left(x - 1 \right)}$ .
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$
      
      Интеграл $\frac{1}{x + 1}$ есть $\log{\left(x + 1 \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + 1 \right)}$
      
      Результат есть: $\log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $2 \log{\left(x - 1 \right)} - 2 \log{\left(x + 1 \right)}$
  Результат есть: $x + \frac{5 \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{5 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$x + \frac{5 \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{5 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x + \frac{5 \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{5 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                
 |                                                 
 |  2                                              
 | x  + 4              5*log(1 + x)   5*log(-1 + x)
 | ------ dx = C + x - ------------ + -------------
 |  2                       2               2      
 | x  - 1                                          
 |                                                 
/

$$-{{5\,\log \left(x+1\right)}\over{2}}+x+{{5\,\log \left(x-1\right) }\over{2}}$$

Упростить

Ответ [src]

      5*pi*I
-oo - ------
        2

$${\it \%a}$$

      5*pi*I
-oo - ------
        2

$$-\infty - \frac{5 i \pi}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-110.960259916934

-110.960259916934

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (x^2+4)/(x^2-1) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2