Интеграл x*(x+1)^2 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(x + 1\right)^{2} = x^{3} + 2 x^{2} + x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2 x^{3}}{3}$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(3 x^{2} + 8 x + 6\right)}{12}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(3 x^{2} + 8 x + 6\right)}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \cdot \left(3 x^{2} + 8 x + 6\right)}{12}+ \mathrm{constant}$