Интеграл x*sec(x)*tan(x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл secant times tangent есть secant:

      $\int \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}\, dx = \sec{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sec{\left(x \right)} = \frac{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + \sec{\left(x \right)}}$

3. пусть $u = \tan{\left(x \right)} + \sec{\left(x \right)}$.

   Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

   $\int \frac{1}{u}\, du$

   1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\log{\left(\tan{\left(x \right)} + \sec{\left(x \right)} \right)}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \sec{\left(x \right)} - \log{\left(\tan{\left(x \right)} + \sec{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \sec{\left(x \right)} - \log{\left(\tan{\left(x \right)} + \sec{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$