Интеграл x*(log(x)^2)*x d{x}

1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

   $\int u^{2} e^{3 u}\, du$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(u \right)} = u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = 3 u$.

            Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{3 u}}{3}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{3 u}$.

            Тогда пусть $du = 3 e^{3 u} du$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{\int 1\, du}{3}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{3 u}}{3}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(u \right)} = \frac{2 u}{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{2}{3}$.

      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

      1. пусть $u = 3 u$.

         Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{3 u}}{3}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{2 e^{3 u}}{9}\, du = \frac{2 \int e^{3 u}\, du}{9}$

      1. пусть $u = 3 u$.

         Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{3 u}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2 e^{3 u}}{27}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 x^{3} \log{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 x^{3}}{27}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{3} \cdot \left(9 \log{\left(x \right)}^{2} - 6 \log{\left(x \right)} + 2\right)}{27}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3} \cdot \left(9 \log{\left(x \right)}^{2} - 6 \log{\left(x \right)} + 2\right)}{27}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{3} \cdot \left(9 \log{\left(x \right)}^{2} - 6 \log{\left(x \right)} + 2\right)}{27}+ \mathrm{constant}$