Интеграл x*log(2*x+1) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x + 1 \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{2 x + 1}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{2}}{2 x + 1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \cdot \left(2 x + 1\right)}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \left(- \frac{1}{4}\right)\, dx = - \frac{x}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{4 \cdot \left(2 x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{4}$

      1. пусть $u = 2 x + 1$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{4 u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}$

4. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \log{\left(2 x + 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \log{\left(2 x + 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \log{\left(2 x + 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$