Производная x*log(2*x+1)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(2 x + 1 \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 2 x + 1$.

   2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $2 x + 1$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2}{2 x + 1}$

   В результате: $\frac{2 x}{2 x + 1} + \log{\left(2 x + 1 \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 x + \left(2 x + 1\right) \log{\left(2 x + 1 \right)}}{2 x + 1}$

Ответ:

$\frac{2 x + \left(2 x + 1\right) \log{\left(2 x + 1 \right)}}{2 x + 1}$