Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл exp(-x^2)
Интеграл x/(exp(x))
Интеграл e^(acos(x))
Интеграл cos(x)^(n)
График функции y =:
x*log(2*x)
Производная:
x*log(2*x)
Идентичные выражения
x*log(два *x)
x умножить на логарифм от (2 умножить на x)
x умножить на логарифм от (два умножить на x)
xlog(2x)
xlog2x
x*log(2*x)dx
Похожие выражения
1/(x*(log(2*x+1))^2)
x*log(2*x-1)
x*log(2*x+1)

Интеграл xlog(2x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1              
  /              
 |               
 |  x*log(2*x) dx
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(2 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $x \log{\left(2 x \right)} = x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(2 \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$ :
    
    $\int u e^{2 u}\, du$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
      
      Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Метод #2
      
      пусть $u = e^{2 u}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 e^{2 u} du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{2 u}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int x \log{\left(2 \right)}\, dx = \log{\left(2 \right)} \int x\, dx$
    1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2}$
  Результат есть: $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2}$
Метод #2
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $x \log{\left(2 x \right)} = x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(2 \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$ :
    
    $\int u e^{2 u}\, du$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{2 u}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int x \log{\left(2 \right)}\, dx = \log{\left(2 \right)} \int x\, dx$
    1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2}$
  Результат есть: $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2}$
Теперь упростить:

$\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(4 \right)}\right)}{4}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(4 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(4 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                     2    2           2       
 |                     x    x *log(2)   x *log(x)
 | x*log(2*x) dx = C - -- + --------- + ---------
 |                     4        2           2    
/

$${{x^2\,\log \left(2\,x\right)}\over{2}}-{{x^2}\over{4}}$$

Упростить

Ответ [src]

  1   log(2)
- - + ------
  4     2

$${{2\,\log 2-1}\over{4}}$$

  1   log(2)
- - + ------
  4     2

$$- \frac{1}{4} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.0965735902799727

0.0965735902799727

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл xlog(2x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Метод #3

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл x*log(2*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Метод #3

Интеграл xlog(2x) d{x}