Интеграл xe^(3x-1) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1              
  /              
 |               
 |     3*x - 1   
 |  x*e        dx
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} x e^{3 x - 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $x e^{3 x - 1} = \frac{x e^{3 x}}{e}$
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{x e^{3 x}}{e}\, dx = \frac{\int x e^{3 x}\, dx}{e}$
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 x}}{3}$
      
      Метод #2
      
      пусть $u = e^{3 x}$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 e^{3 x} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{1}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{\int 1\, du}{3}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 x}}{3}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{\int e^{3 x}\, dx}{3}$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 x}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{e^{3 x}}{9}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}}{e}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $x e^{3 x - 1} = \frac{x e^{3 x}}{e}$
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{x e^{3 x}}{e}\, dx = \frac{\int x e^{3 x}\, dx}{e}$
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 x}}{3}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{\int e^{3 x}\, dx}{3}$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 x}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{e^{3 x}}{9}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}}{e}$
Теперь упростить:

$\frac{\left(3 x - 1\right) e^{3 x - 1}}{9}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\left(3 x - 1\right) e^{3 x - 1}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(3 x - 1\right) e^{3 x - 1}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                         
 |                     /   3*x      3*x\    
 |    3*x - 1          |  e      x*e   |  -1
 | x*e        dx = C + |- ---- + ------|*e  
 |                     \   9       3   /    
/

$${{e^ {- 1 }\,\left(3\,x-1\right)\,e^{3\,x}}\over{9}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

 -1      2
e     2*e 
--- + ----
 9     9

$${{2\,e^2}\over{9}}+{{e^ {- 1 }}\over{9}}$$

 -1      2
e     2*e 
--- + ----
 9     9

$$\frac{1}{9 e} + \frac{2 e^{2}}{9}$$

Упростить

Численный ответ [src]

1.68288795989253

1.68288795989253

График

$Интеграл x*e^(3*x-1) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл xe^(3x-1) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2