Интеграл x*e^(-3*x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = - 3 x$.

         Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du = - \frac{\int e^{u}\, du}{3}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

      Метод #2

      1. пусть $u = e^{- 3 x}$.

         Тогда пусть $du = - 3 e^{- 3 x} dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{3}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{e^{- 3 x}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 3 x}\, dx}{3}$

   1. пусть $u = - 3 x$.

      Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du = - \frac{\int e^{u}\, du}{3}$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{e^{- 3 x}}{9}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\left(- 3 x - 1\right) e^{- 3 x}}{9}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(- 3 x - 1\right) e^{- 3 x}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(- 3 x - 1\right) e^{- 3 x}}{9}+ \mathrm{constant}$