Интеграл x*exp(x/2) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

         $\int 4 e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $2 e^{\frac{x}{2}}$

      Метод #2

      1. пусть $u = e^{\frac{x}{2}}$.

         Тогда пусть $du = \frac{e^{\frac{x}{2}} dx}{2}$ и подставим $2 du$:

         $\int 4\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2\, du = 2 \int 1\, du$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $2 u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $2 e^{\frac{x}{2}}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 2 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx$

   1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

      $\int 4 e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 e^{\frac{x}{2}}$

   Таким образом, результат будет: $4 e^{\frac{x}{2}}$

3. Теперь упростить:

   $2 \left(x - 2\right) e^{\frac{x}{2}}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 \left(x - 2\right) e^{\frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$2 \left(x - 2\right) e^{\frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}$