Интеграл x*atan(6*x/7) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{6}{7 \cdot \left(\frac{36 x^{2}}{49} + 1\right)}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{3 x^{2}}{7 \cdot \left(\frac{36 x^{2}}{49} + 1\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{x^{2}}{\frac{36 x^{2}}{49} + 1}\, dx}{7}$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{\frac{36 x^{2}}{49} + 1} = \frac{49}{36} - \frac{2401}{36 \cdot \left(36 x^{2} + 49\right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{49}{36}\, dx = \frac{49 x}{36}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{2401}{36 \cdot \left(36 x^{2} + 49\right)}\right)\, dx = - \frac{2401 \int \frac{1}{36 x^{2} + 49}\, dx}{36}$

            1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}}{42}$.

            Таким образом, результат будет: $- \frac{343 \operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}}{216}$

         Результат есть: $\frac{49 x}{36} - \frac{343 \operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}}{216}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{\frac{36 x^{2}}{49} + 1} = \frac{49 x^{2}}{36 x^{2} + 49}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{49 x^{2}}{36 x^{2} + 49}\, dx = 49 \int \frac{x^{2}}{36 x^{2} + 49}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{36 x^{2} + 49} = \frac{1}{36} - \frac{49}{36 \cdot \left(36 x^{2} + 49\right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{36}\, dx = \frac{x}{36}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{49}{36 \cdot \left(36 x^{2} + 49\right)}\right)\, dx = - \frac{49 \int \frac{1}{36 x^{2} + 49}\, dx}{36}$

               1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}}{42}$.

               Таким образом, результат будет: $- \frac{7 \operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}}{216}$

            Результат есть: $\frac{x}{36} - \frac{7 \operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}}{216}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{49 x}{36} - \frac{343 \operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}}{216}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{7 x}{12} - \frac{49 \operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}}{72}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}}{2} - \frac{7 x}{12} + \frac{49 \operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}}{72}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}}{2} - \frac{7 x}{12} + \frac{49 \operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}}{72}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}}{2} - \frac{7 x}{12} + \frac{49 \operatorname{atan}{\left(\frac{6 x}{7} \right)}}{72}+ \mathrm{constant}$