Интеграл x*asin(2*x+1) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(2 x + 1 \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{\sqrt{1 - \left(2 x + 1\right)^{2}}}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - \left(2 x + 1\right)^{2}}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{- 4 x^{2} - 4 x}}$

   SqrtQuadraticDenomRule(a=0, b=-4, c=-4, coeffs=[1, 0, 0], context=x**2/sqrt(-4*x**2 - 4*x), symbol=x)

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(2 x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{x \left(- x - 1\right)} \left(2 x - 3\right)}{8} - \frac{3 \operatorname{asin}{\left(2 x + 1 \right)}}{16}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(2 x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{x \left(- x - 1\right)} \left(2 x - 3\right)}{8} - \frac{3 \operatorname{asin}{\left(2 x + 1 \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(2 x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{x \left(- x - 1\right)} \left(2 x - 3\right)}{8} - \frac{3 \operatorname{asin}{\left(2 x + 1 \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$