Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл sqrt(x^2-9)/x^4
Интеграл 1/(sqrt(2*pi))*e^((-x^2)/2)
Интеграл (5*x^4-7*x^6+3)
Интеграл 3^(7*x-1)
Уравнение:
(x+y)/(x-y)
Предел функции:
(x+y)/(x-y)
Идентичные выражения
(x+y)/(x-y)
(x плюс y) делить на (x минус y)
x+y/x-y
(x+y) разделить на (x-y)
(x+y)/(x-y)dx
Похожие выражения
(x+y)/(x+y)
(x-y)/(x-y)

Интеграл (x+y)/(x-y) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1         
  /         
 |          
 |  x + y   
 |  ----- dx
 |  x - y   
 |          
/           
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + y}{x - y}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x + y}{x - y} = \frac{2 y}{x - y} + 1$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{2 y}{x - y}\, dx = 2 y \int \frac{1}{x - y}\, dx$
    1. пусть $u = x - y$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - y \right)}$
    Таким образом, результат будет: $2 y \log{\left(x - y \right)}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, dx = x$
  Результат есть: $x + 2 y \log{\left(x - y \right)}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x + y}{x - y} = \frac{x}{x - y} + \frac{y}{x - y}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x}{x - y} = \frac{y}{x - y} + 1$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{y}{x - y}\, dx = y \int \frac{1}{x - y}\, dx$
      
      пусть $u = x - y$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - y \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $y \log{\left(x - y \right)}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, dx = x$
    Результат есть: $x + y \log{\left(x - y \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{y}{x - y}\, dx = y \int \frac{1}{x - y}\, dx$
    1. пусть $u = x - y$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - y \right)}$
    Таким образом, результат будет: $y \log{\left(x - y \right)}$
  Результат есть: $x + 2 y \log{\left(x - y \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$x + 2 y \log{\left(x - y \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x + 2 y \log{\left(x - y \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                 
 |                                  
 | x + y                            
 | ----- dx = C + x + 2*y*log(x - y)
 | x - y                            
 |                                  
/

$$2\,\log \left(x-y\right)\,y+x$$

Упростить

Ответ [src]

1 - 2*y*log(-y) + 2*y*log(1 - y)

$$- 2 y \log{\left(- y \right)} + 2 y \log{\left(- y + 1 \right)} + 1$$

1 - 2*y*log(-y) + 2*y*log(1 - y)

$$- 2 y \log{\left(- y \right)} + 2 y \log{\left(- y + 1 \right)} + 1$$

Упростить

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (x+y)/(x-y) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2