Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
- Предел (1-cos(2*x))/sin(x)^2
-
Предел x*cot(x/2)
-
Предел sin(4*x)/(8*x)
-
Предел 3+4*x
- Уравнение:
- (x+y)/(x-y)
- Интеграл d{x}:
- (x+y)/(x-y)
-
Идентичные выражения
- (x+y)/(x-y)
- (x плюс y) делить на (x минус y)
- x+y/x-y
- (x+y) разделить на (x-y)
-
Похожие выражения
- (x+y)/(x+y)
- (x-y)/(x-y)
Предел функции (x+y)/(x-y)
Решение
Вы ввели
[src]
/x + y\ lim |-----| x->oo\x - y/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right)$$
Limit((x + y)/(x - y), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u y + 1}{- u y + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 y + 1}{\left(-1\right) 0 y + 1} = 1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u y + 1}{- u y + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 y + 1}{\left(-1\right) 0 y + 1} = 1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = 1$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + y\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - y\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \left(x + y\right)}{\frac{\partial}{\partial x} \left(x - y\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + y\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - y\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \left(x + y\right)}{\frac{\partial}{\partial x} \left(x - y\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = -1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = -1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = \frac{y + 1}{- y + 1}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = \frac{y + 1}{- y + 1}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = 1$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = -1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = -1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = \frac{y + 1}{- y + 1}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = \frac{y + 1}{- y + 1}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = 1$$
Подробнее при x→-oo