Интеграл (x+1)*(x+3) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(x + 1\right) \left(x + 3\right) = x^{2} + 4 x + 3$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $2 x^{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 3\, dx = 3 x$

   Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 3 x$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x \left(x^{2} + 6 x + 9\right)}{3}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x \left(x^{2} + 6 x + 9\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x \left(x^{2} + 6 x + 9\right)}{3}+ \mathrm{constant}$