Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл cos(x)^4
Интеграл (x+1)*cos(3*x)
Интеграл sqrt(144-x^2)
Интеграл sin(2*x)+1*cos(2*x)*dx
Идентичные выражения
(x+ один)*cos(три *x)
(x плюс 1) умножить на косинус от (3 умножить на x)
(x плюс один) умножить на косинус от (три умножить на x)
(x+1)cos(3x)
x+1cos3x
(x+1)*cos(3*x)dx
Похожие выражения
(5*x+1)*cos(3*x)
(x-1)*cos(3*x)
(2*x+1)*cos(3*x)

Решение интегралов/ (x+1)*cos(3*x)

Интеграл (x+1)cos(3x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                    
  /                    
 |                     
 |  (x + 1)*cos(3*x) dx
 |                     
/                      
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(x + 1\right) \cos{\left(3 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(x + 1\right) \cos{\left(3 x \right)} = x \cos{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}$
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}$
Метод #2
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = x + 1$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(x + 1\right) \cos{\left(3 x \right)} = x \cos{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}$
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                          
 |                           sin(3*x)   cos(3*x)   x*sin(3*x)
 | (x + 1)*cos(3*x) dx = C + -------- + -------- + ----------
 |                              3          9           3     
/

$${{{{3\,x\,\sin \left(3\,x\right)+\cos \left(3\,x\right)}\over{3}}+ \sin \left(3\,x\right)}\over{3}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

  1   cos(3)   2*sin(3)
- - + ------ + --------
  9     9         3

$${{6\,\sin 3+\cos 3}\over{9}}-{{1}\over{9}}$$

  1   cos(3)   2*sin(3)
- - + ------ + --------
  9     9         3

$$- \frac{1}{9} + \frac{\cos{\left(3 \right)}}{9} + \frac{2 \sin{\left(3 \right)}}{3}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-0.127030272026805

-0.127030272026805

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (x+1)cos(3x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (x+1)*cos(3*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Интеграл (x+1)cos(3x) d{x}