Интеграл sin(2*x)+1*cos(2*x)*dx d{x}

1. Интегрируем почленно:

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

      Метод #2

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            Метод #2

            1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

               $\int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

   Результат есть: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$