Интеграл (x+2)*cos(x)/2*dx d{x}

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(x + 2\right) \cos{\left(x \right)} \frac{1}{2} \cdot 1\, dx = \frac{\int \left(x + 2\right) \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(x + 2\right) \cos{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(x \right)}$

         Результат есть: $x \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(x \right)} = x + 2$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$