Интеграл cot(3-x) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cot{\left(3 - x \right)} = - \frac{\cos{\left(x - 3 \right)}}{\sin{\left(x - 3 \right)}}$

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{\cos{\left(x - 3 \right)}}{\sin{\left(x - 3 \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x - 3 \right)}}{\sin{\left(x - 3 \right)}}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \sin{\left(x - 3 \right)}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left(x - 3 \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(\sin{\left(x - 3 \right)} \right)}$

      Метод #2

      1. пусть $u = x - 3$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du$

         1. пусть $u = \sin{\left(u \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(\sin{\left(x - 3 \right)} \right)}$

   Таким образом, результат будет: $- \log{\left(\sin{\left(x - 3 \right)} \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left(\sin{\left(x - 3 \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \log{\left(\sin{\left(x - 3 \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$