Интеграл (x-3)^5 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x - 3$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{5}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(x - 3\right)^{6}}{6}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x - 3\right)^{5} = x^{5} - 15 x^{4} + 90 x^{3} - 270 x^{2} + 405 x - 243$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 15 x^{4}\right)\, dx = - 15 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- 3 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 90 x^{3}\, dx = 90 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{45 x^{4}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 270 x^{2}\right)\, dx = - 270 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- 90 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 405 x\, dx = 405 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{405 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-243\right)\, dx = - 243 x$

      Результат есть: $\frac{x^{6}}{6} - 3 x^{5} + \frac{45 x^{4}}{2} - 90 x^{3} + \frac{405 x^{2}}{2} - 243 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(x - 3\right)^{6}}{6}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(x - 3\right)^{6}}{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(x - 3\right)^{6}}{6}+ \mathrm{constant}$