Интеграл (x-1/2)^2 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x - \frac{1}{2}$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(x - \frac{1}{2}\right)^{3}}{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} = x^{2} - x + \frac{1}{4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(2 x - 1\right)^{3}}{24}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(2 x - 1\right)^{3}}{24}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(2 x - 1\right)^{3}}{24}+ \mathrm{constant}$