Интеграл x/(1-x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{1 - x} = -1 - \frac{1}{x - 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

      Результат есть: $- x - \log{\left(x - 1 \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{1 - x} = - \frac{x}{x - 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{x}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x - 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         Результат есть: $x + \log{\left(x - 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- x - \log{\left(x - 1 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x - \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x - \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$