Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл x*cos(x)
Интеграл 1/cos(x)
Интеграл sin(x)^(3)
Интеграл x^2*e^(-x)
Производная:
(1+x)/(1-x)
Предел функции:
(1+x)/(1-x)
График функции y =:
(1+x)/(1-x)
Идентичные выражения
(один +x)/(один -x)
(1 плюс x) делить на (1 минус x)
(один плюс x) делить на (один минус x)
1+x/1-x
(1+x) разделить на (1-x)
(1+x)/(1-x)dx
Похожие выражения
(1-x)/(1-x)
(1+x)/(1+x)

Интеграл (1+x)/(1-x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1         
  /         
 |          
 |  1 + x   
 |  ----- dx
 |  1 - x   
 |          
/           
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 1}{- x + 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = x + 1$ .
  
  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $- du$ :
  
  $\int \frac{u}{u - 2}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{u}{u - 2}\right)\, du = - \int \frac{u}{u - 2}\, du$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{u}{u - 2} = 1 + \frac{2}{u - 2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{2}{u - 2}\, du = 2 \int \frac{1}{u - 2}\, du$
      
      пусть $u = u - 2$ .
      
      Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(u - 2 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $2 \log{\left(u - 2 \right)}$
      
      Результат есть: $u + 2 \log{\left(u - 2 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- u - 2 \log{\left(u - 2 \right)}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- x - 2 \log{\left(x - 1 \right)} - 1$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x + 1}{1 - x} = -1 - \frac{2}{x - 1}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \left(-1\right)\, dx = - x$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{2}{x - 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x - 1}\, dx$
    1. пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left(x - 1 \right)}$
  Результат есть: $- x - 2 \log{\left(x - 1 \right)}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x + 1}{1 - x} = \frac{- x - 1}{x - 1}$
2. пусть $u = x - 1$ .
  
  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \frac{- u - 2}{u}\, du$
  1. пусть $u = - u$ .
    
    Тогда пусть $du = - du$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{u - 2}{u}\, du$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{u - 2}{u} = 1 - \frac{2}{u}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{2}{u}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left(u \right)}$
      
      Результат есть: $u - 2 \log{\left(u \right)}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- u - 2 \log{\left(- u \right)}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- x - 2 \log{\left(1 - x \right)} + 1$
Метод #4
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x + 1}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x}{1 - x} = -1 - \frac{1}{x - 1}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \left(-1\right)\, dx = - x$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$
      
      пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x - 1 \right)}$
    Результат есть: $- x - \log{\left(x - 1 \right)}$
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    
    пусть $u = 1 - x$ .
    
    Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
    
    Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \log{\left(1 - x \right)}$
    Метод #2
    
    Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{1 - x} = - \frac{1}{x - 1}$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$
    
    пусть $u = x - 1$ .
    
    Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    
    Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\log{\left(x - 1 \right)}$
    
    Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x - 1 \right)}$
    Метод #3
    
    Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{1 - x} = - \frac{1}{x - 1}$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$
    
    пусть $u = x - 1$ .
    
    Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    
    Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\log{\left(x - 1 \right)}$
    
    Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x - 1 \right)}$
  Результат есть: $- x - \log{\left(1 - x \right)} - \log{\left(x - 1 \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- x - 2 \log{\left(x - 1 \right)} - 1+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x - 2 \log{\left(x - 1 \right)} - 1+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                     
 |                                      
 | 1 + x                                
 | ----- dx = -1 + C - x - 2*log(-1 + x)
 | 1 - x                                
 |                                      
/

$$-x-2\,\log \left(x-1\right)$$

Упростить

Ответ [src]

oo + 2*pi*I

$${\it \%a}$$

oo + 2*pi*I

$$\infty + 2 i \pi$$

Упростить

Численный ответ [src]

87.181913572439

87.181913572439

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (1+x)/(1-x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #4

Метод #1

Метод #2

Метод #3