Интеграл x/(2-x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{2 - x} = -1 - \frac{2}{x - 2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{2}{x - 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left(x - 2 \right)}$

      Результат есть: $- x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{2 - x} = - \frac{x}{x - 2}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{x}{x - 2}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x - 2}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x - 2} = 1 + \frac{2}{x - 2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

            1. пусть $u = x - 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x - 2 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $2 \log{\left(x - 2 \right)}$

         Результат есть: $x + 2 \log{\left(x - 2 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$