Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 1/x*sin(x)
Интеграл x^-4
Интеграл (3*x-5)^7
Интеграл (1-2*x)^6
Идентичные выражения
(восемь *x- один)*sin(два *x)*dx
(8 умножить на x минус 1) умножить на синус от (2 умножить на x) умножить на dx
(восемь умножить на x минус один) умножить на синус от (два умножить на x) умножить на dx
(8x-1)sin(2x)dx
8x-1sin2xdx
Похожие выражения
(8*x+1)*sin(2*x)*dx

Решение интегралов/ (8*x-1)*sin(2*x)*dx

Интеграл (8x-1)sin(2x)dx d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                        
  /                        
 |                         
 |  (8*x - 1)*sin(2*x)*1 dx
 |                         
/                          
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(8 x - 1\right) \sin{\left(2 x \right)} 1\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = 2 x$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(2 u \sin{\left(u \right)} - \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 u \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int u \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- 2 u \cos{\left(u \right)} + 2 \sin{\left(u \right)}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
    Результат есть: $- 2 u \cos{\left(u \right)} + 2 \sin{\left(u \right)} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- 4 x \cos{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(8 x - 1\right) \sin{\left(2 x \right)} 1 = 8 x \sin{\left(2 x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 8 x \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 8 \int x \sin{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Метод #2
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $- 4 x \cos{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
  Результат есть: $- 4 x \cos{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
Метод #3
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = 8 x - 1$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 8$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 4 \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx$
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
  Таким образом, результат будет: $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$
Метод #4
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(8 x - 1\right) \sin{\left(2 x \right)} 1 = 8 x \sin{\left(2 x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 8 x \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 8 \int x \sin{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $- 4 x \cos{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
  Результат есть: $- 4 x \cos{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
Метод #5
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 2 \cdot \left(8 x - 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \left(8 x - 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(8 x - 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 8 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 8 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 8 \int x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $- 4 x \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 x + \sin{\left(2 x \right)}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Результат есть: $- 4 x \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 x + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
  Таким образом, результат будет: $- 8 x \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 x + 2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- 4 x \cos{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- 4 x \cos{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                  
 |                               cos(2*x)                            
 | (8*x - 1)*sin(2*x)*1 dx = C + -------- + 2*sin(2*x) - 4*x*cos(2*x)
 |                                  2                                
/

$${{4\,\left(\sin \left(2\,x\right)-2\,x\,\cos \left(2\,x\right) \right)+\cos \left(2\,x\right)}\over{2}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

  1              7*cos(2)
- - + 2*sin(2) - --------
  2                 2

$${{4\,\sin 2-7\,\cos 2}\over{2}}-{{1}\over{2}}$$

  1              7*cos(2)
- - + 2*sin(2) - --------
  2                 2

$$- \frac{1}{2} - \frac{7 \cos{\left(2 \right)}}{2} + 2 \sin{\left(2 \right)}$$

Упростить

Численный ответ [src]

2.77510878156636

2.77510878156636

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (8x-1)sin(2x)dx d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #4

Метод #5

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (8*x-1)*sin(2*x)*dx d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #4

Метод #5

Интеграл (8x-1)sin(2x)dx d{x}