Интеграл (3*x-5)^7 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x - 5$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{7}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{7}}{3}\, du = \frac{\int u^{7}\, du}{3}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{8}}{24}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(3 x - 5\right)^{8}}{24}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x - 5\right)^{7} = 2187 x^{7} - 25515 x^{6} + 127575 x^{5} - 354375 x^{4} + 590625 x^{3} - 590625 x^{2} + 328125 x - 78125$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2187 x^{7}\, dx = 2187 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2187 x^{8}}{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 25515 x^{6}\right)\, dx = - 25515 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- 3645 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 127575 x^{5}\, dx = 127575 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{42525 x^{6}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 354375 x^{4}\right)\, dx = - 354375 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- 70875 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 590625 x^{3}\, dx = 590625 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{590625 x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 590625 x^{2}\right)\, dx = - 590625 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- 196875 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 328125 x\, dx = 328125 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{328125 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-78125\right)\, dx = - 78125 x$

      Результат есть: $\frac{2187 x^{8}}{8} - 3645 x^{7} + \frac{42525 x^{6}}{2} - 70875 x^{5} + \frac{590625 x^{4}}{4} - 196875 x^{3} + \frac{328125 x^{2}}{2} - 78125 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(3 x - 5\right)^{8}}{24}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(3 x - 5\right)^{8}}{24}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(3 x - 5\right)^{8}}{24}+ \mathrm{constant}$