Интеграл (3*x-5)^6 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x - 5$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{6}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{6}}{3}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{3}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{7}}{21}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(3 x - 5\right)^{7}}{21}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x - 5\right)^{6} = 729 x^{6} - 7290 x^{5} + 30375 x^{4} - 67500 x^{3} + 84375 x^{2} - 56250 x + 15625$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 729 x^{6}\, dx = 729 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{729 x^{7}}{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 7290 x^{5}\right)\, dx = - 7290 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- 1215 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 30375 x^{4}\, dx = 30375 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $6075 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 67500 x^{3}\right)\, dx = - 67500 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 16875 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 84375 x^{2}\, dx = 84375 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $28125 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 56250 x\right)\, dx = - 56250 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 28125 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 15625\, dx = 15625 x$

      Результат есть: $\frac{729 x^{7}}{7} - 1215 x^{6} + 6075 x^{5} - 16875 x^{4} + 28125 x^{3} - 28125 x^{2} + 15625 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(3 x - 5\right)^{7}}{21}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(3 x - 5\right)^{7}}{21}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(3 x - 5\right)^{7}}{21}+ \mathrm{constant}$