Интеграл (3-x)*e^x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int \left(- u - 3\right) e^{- u}\, du$

      1. пусть $u = - u$.

         Тогда пусть $du = - du$ и подставим $du$:

         $\int \left(- u e^{u} + 3 e^{u}\right)\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u e^{u}\right)\, du = - \int u e^{u}\, du$

               1. Используем интегрирование по частям:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Теперь решаем под-интеграл.

               2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- u e^{u} + e^{u}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 3 e^{u}\, du = 3 \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $3 e^{u}$

            Результат есть: $- u e^{u} + 4 e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $u e^{- u} + 4 e^{- u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x e^{x} + 4 e^{x}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 - x\right) e^{x} = - x e^{x} + 3 e^{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- x e^{x}\right)\, dx = - \int x e^{x}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Таким образом, результат будет: $- x e^{x} + e^{x}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 e^{x}\, dx = 3 \int e^{x}\, dx$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Таким образом, результат будет: $3 e^{x}$

      Результат есть: $- x e^{x} + 4 e^{x}$

   Метод #3

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = 3 - x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- e^{x}\right)\, dx = - \int e^{x}\, dx$

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Таким образом, результат будет: $- e^{x}$

2. Теперь упростить:

   $\left(4 - x\right) e^{x}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(4 - x\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\left(4 - x\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$