Интеграл tan(x)-x d{x}

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

   Результат есть: $- \frac{x^{2}}{2} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x^{2}}{2} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{x^{2}}{2} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$