Интеграл (sin(x))^3*(cos(x)) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. пусть $u = - \cos^{2}{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

      $\int \left(\frac{u}{2} + \frac{1}{2}\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{4}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

         Результат есть: $\frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$