Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл x*e^-x
Интеграл (tan(x))^3
Интеграл dx/(3-x^2)
Интеграл 1/(cos(x)^(6))
Производная:
(sin(x)^3)*2*x
Идентичные выражения
(sin(x)^ три)* два *x
( синус от (x) в кубе ) умножить на 2 умножить на x
( синус от (x) в степени три) умножить на два умножить на x
(sin(x)3)*2*x
sinx3*2*x
(sin(x)³)*2*x
(sin(x) в степени 3)*2*x
(sin(x)^3)2x
(sin(x)3)2x
sinx32x
sinx^32x
(sin(x)^3)*2*xdx
Похожие выражения
(sinx^3)*2*x
Что Вы имели ввиду?
(sin(x)^3)^2*x

Вы ввели:

(sin(x)^3)*2*x

Что Вы имели ввиду?

(sin(x)^3)^2*x

Интеграл (sin(x)^3)2x d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1               
  /               
 |                
 |     3          
 |  sin (x)*2*x dx
 |                
/                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{3}{\left(x \right)} 2 x\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

$\int \sin^{3}{\left(x \right)} 2 x\, dx = 2 \int x \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx$
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$
  2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(u^{2} - 1\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \left(-1\right)\, du = - u$
      
      Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} - u$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$
    Метод #2
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
      
      Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$
    Метод #3
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
      
      Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx}{3}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$
    2. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      1. Интегрируем почленно:
        
        Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int 1\, du = u$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
        
        Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \sin{\left(x \right)}$
  Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3}$
Таким образом, результат будет: $2 x \left(\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} + \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{3}$
Теперь упростить:

$- \frac{3 x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{6} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{18}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{3 x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{6} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{18}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{3 x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{6} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{18}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                   
 |                           3                     /             3   \
 |    3                 2*sin (x)   4*sin(x)       |          cos (x)|
 | sin (x)*2*x dx = C + --------- + -------- + 2*x*|-cos(x) + -------|
 |                          9          3           \             3   /
/

$$-{{\sin \left(3\,x\right)-3\,x\,\cos \left(3\,x\right)-27\,\sin x+ 27\,x\,\cos x}\over{18}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

       3            3                              2          
  4*cos (1)   14*sin (1)        2             4*cos (1)*sin(1)
- --------- + ---------- - 2*sin (1)*cos(1) + ----------------
      3           9                                  3

$$-{{\sin 3-3\,\cos 3-27\,\sin 1+27\,\cos 1}\over{18}}$$

       3            3                              2          
  4*cos (1)   14*sin (1)        2             4*cos (1)*sin(1)
- --------- + ---------- - 2*sin (1)*cos(1) + ----------------
      3           9                                  3

$$- 2 \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - \frac{4 \cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{4 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{14 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{9}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.278914268528457

0.278914268528457

График

$Интеграл (sin(x)^3)*2*x d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Что Вы имели ввиду?

Вы ввели:

Что Вы имели ввиду?

Интеграл (sin(x)^3)2x d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3