Производная (sin(x)^3)*2*x

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      В результате: $3 x \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{3}{\left(x \right)}$

   Таким образом, в результате: $6 x \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \sin^{3}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $2 \cdot \left(3 x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}$

Ответ:

$2 \cdot \left(3 x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}$