Интеграл sin(x)*cos(4*x) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} = 8 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 8 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 8 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{8 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 8 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{8 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Результат есть: $- \frac{8 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{8 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\left(- 24 \cos^{4}{\left(x \right)} + 40 \cos^{2}{\left(x \right)} - 15\right) \cos{\left(x \right)}}{15}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(- 24 \cos^{4}{\left(x \right)} + 40 \cos^{2}{\left(x \right)} - 15\right) \cos{\left(x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(- 24 \cos^{4}{\left(x \right)} + 40 \cos^{2}{\left(x \right)} - 15\right) \cos{\left(x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}$