Интеграл sin(x)-sin(x)^(3) d{x}

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \sin^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int \left(u^{2} - 1\right)\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \left(-1\right)\, du = - u$

               Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} - u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

               1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

         Метод #3

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

               1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}$

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Результат есть: $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$