Интеграл sin(x)/e^cos(x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{1}{e^{\cos{\left(x \right)}}}$.

      Тогда пусть $du = e^{- \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

      $\int 1\, du$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, du = u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{e^{\cos{\left(x \right)}}}$

   Метод #2

   1. пусть $u = e^{\cos{\left(x \right)}}$.

      Тогда пусть $du = - e^{\cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $e^{- \cos{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростить:

   $e^{- \cos{\left(x \right)}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $e^{- \cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$e^{- \cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$