Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл x^4*sin(x)
Интеграл sin(6*x)*cos(x)
Интеграл dx/(1-sin(x))
Интеграл cos(x)^(5)
Идентичные выражения
sin(шесть *x)*cos(x)
синус от (6 умножить на x) умножить на косинус от (x)
синус от (шесть умножить на x) умножить на косинус от (x)
sin(6x)cos(x)
sin6xcosx
sin(6*x)*cos(x)dx
Похожие выражения
sin(6*x)*cosx

Решение интегралов/ sin(6*x)*cos(x)

Интеграл sin(6x)cos(x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                   
  /                   
 |                    
 |  sin(6*x)*cos(x) dx
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(6 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sin{\left(6 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 32 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 6 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
Интегрируем почленно:
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 32 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 32 \int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
  2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(- u^{6} + 2 u^{4} - u^{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{2 u^{5}}{5}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{7}}{7} + \frac{2 u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Метод #2
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Результат есть: $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Метод #3
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Результат есть: $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{64 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{32 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 32 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
  2. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du$
    1. Интегрируем почленно:
      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      Результат есть: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{32 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{32 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 6 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
  1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int u^{2}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $- 2 \cos^{3}{\left(x \right)}$
Результат есть: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{32 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 2 \cos^{3}{\left(x \right)}$
Теперь упростить:

$\frac{2 \left(- 80 \cos^{4}{\left(x \right)} + 112 \cos^{2}{\left(x \right)} - 35\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{35}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{2 \left(- 80 \cos^{4}{\left(x \right)} + 112 \cos^{2}{\left(x \right)} - 35\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{35}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{2 \left(- 80 \cos^{4}{\left(x \right)} + 112 \cos^{2}{\left(x \right)} - 35\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{35}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                           7            5   
 |                               3      32*cos (x)   32*cos (x)
 | sin(6*x)*cos(x) dx = C - 2*cos (x) - ---------- + ----------
 |                                          7            5     
/

$$-{{\cos \left(7\,x\right)}\over{14}}-{{\cos \left(5\,x\right) }\over{10}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

6    6*cos(1)*cos(6)   sin(1)*sin(6)
-- - --------------- - -------------
35          35               35

$${{6}\over{35}}-{{5\,\cos 7+7\,\cos 5}\over{70}}$$

6    6*cos(1)*cos(6)   sin(1)*sin(6)
-- - --------------- - -------------
35          35               35

$$- \frac{6 \cos{\left(1 \right)} \cos{\left(6 \right)}}{35} - \frac{\sin{\left(1 \right)} \sin{\left(6 \right)}}{35} + \frac{6}{35}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.089212191857727

0.089212191857727

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл sin(6x)cos(x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл sin(6*x)*cos(x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Интеграл sin(6x)cos(x) d{x}