Интеграл sin(0.5*x) d{x}

1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

   $\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left(u \right)}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$