Интеграл sin(log(x))/x^2 d{x}

1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

   $\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = - u$.

         Тогда пусть $du = - du$ и подставим $du$:

         $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

            1. Для подинтегрального выражения $e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

               пусть $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Затем $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$.

            2. Для подинтегрального выражения $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

               пусть $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Затем $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

            3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

               $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

               Поэтому,

               $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{- u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

         1. Для подинтегрального выражения $e^{- u} \sin{\left(u \right)}$:

            пусть $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}$.

            Затем $\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du = - \int \left(- e^{- u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du - e^{- u} \sin{\left(u \right)}$.

         2. Для подинтегрального выражения $- e^{- u} \cos{\left(u \right)}$:

            пусть $u{\left(u \right)} = - \cos{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}$.

            Затем $\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du = \int \left(- e^{- u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du - e^{- u} \sin{\left(u \right)} - e^{- u} \cos{\left(u \right)}$.

         3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

            $2 \int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du = - e^{- u} \sin{\left(u \right)} - e^{- u} \cos{\left(u \right)}$

            Поэтому,

            $\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du = - \frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{- u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x} - \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\sqrt{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 x}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 x}+ \mathrm{constant}$