Интеграл sin(2*x)^(4)*cos(2*x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{4}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{4}}{2}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{10}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10}$

   Метод #2

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. пусть $u = \sin{\left(u \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$