Интеграл cot(4*x) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cot{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sin{\left(4 x \right)}$.

      Тогда пусть $du = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{16 u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{4 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\log{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)}}{4}$

   Метод #2

   1. пусть $u = 4 x$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16 \sin{\left(u \right)}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4 \sin{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du}{4}$

         1. пусть $u = \sin{\left(u \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\log{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)}}{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\log{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\log{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$